2.12.05 3:02 p. m.

Problema de los cables

Un problemita de ingenio para el fin de semana, que conocí en un ramo introductorio a ingeniería de transporte.

En los cuatro vértices de un cuadrado de lado 100 se encuentran una central eléctrica y tres casas. ¿De qué forma se debe construir una red de cables, de forma que las tres casas estén conectadas con la central, utilizando la mínima cantidad de cable?

(Quien encuentre la respuesta, puede decir cuál es la longitud de cable utilizada)

10 comentarios:

merfat dijo...

Yo me la juego por 250, en un cableado tipo H de hexágono.

ramtia dijo...

Yo también me la juego, pero no acabo de ver los 250 metros de cable de Merfat, ¿no serian 300?.
(los dos lados de la H suman 200, y la parte central 100 más)

yo digo que con 282,84.. metros ya nos sirve.

Es decir una distribución en forma de X

merfat dijo...

La H de hexágono que estaba pensando tiene esta forma:

H----------C
--*------*--
---*----*---
----****----
---*----*---
--*------*--
A----------B
(Donde H es la central hidroeléctrica y A,B y C son las casas)
Pero hice un cálculo al ojímetro y, por supuesto que erré :(
Los 4 segmentos más largos de la H miden en realidad 57,73 y el segmento central mide 42,26, lo que da un total de 273,18.

juan carlos dijo...

raiz de 80000

ramtia dijo...

Plas plas plas!!!

Para quitarse el sombrero Merfat!!, corrijo todos mis comentarios anteriores.

homero dijo...

Felicidades Merfat, esa es la solución que yo conocía para este problema. Es interesante como un problema tan simple, y que a simple vista parece ser de solución trivial (las soluciones en forma de H, con un largo de 300, o en forma de X, con raiz de 80000 como decía Juan Carlos son tentadoras) en realidad posee una mejora posible.
Una parte b para el problema, ahora que ya conocemos la solución: a alguien se le ocurre una forma de determinar la forma óptima de la red usando geometría "sencilla" (sin derivar)?

merfat dijo...

Se dibuja la paralela media DE a los lados HC y AB del cuadrado, luego se dibuja el triángulo equilátero ABR, donde las intersecciones: AR^DE={P}y BR^DE={Q}, determinándose la red al unir los vértices H y C del cuadrado con estos puntos P y Q.
El dibujo sería más o menos así:

H-----------------C
--*------R------*--
---*-----*-----*---
----*---*-*---*----
-----*-*---*-*-----
D****P*****Q*****E
-----*-------*-----
----*---------*----
---*-----------*---
--*-------------*--
A-----------------B

Hay que averiguar (aún no he podido encontrarlo) en los trabajos del geómetra Jacobo Steiner, él me parece que publicó unos teoremas sobre la construcción de un punto en el interior de un triángulo, por ejemplo, cuyas distancias a los lados sea mínima. El mismísimo Fermat también propuso (y resolvió) el problema de determinar un punto en el interior de un triángulo cuyas distancias a los vértices sea mínima.

homero dijo...

Interesante manera de construir la red, Merfat. Seguramente es de ayuda para encontrar la demostación, aunque parece que no va a ser fácil.
Por qué Fermat en negritas, algún motivo en especial? ;)

Luis dijo...

Es una cosa mas o menos conocida en geometria. Tiene una demostracion muy bonita que se puede ver en
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml

merfat dijo...

Gracias Luis por la información, es una joyita que ya mismo me la pongo a estudiar.

(Disculpa el atrevimiento, pero por esas casualidades, ¿tu apellido comienza con D?)