30.7.05 2:52 p. m.

Apuesta de Cumpleaños

Otro juego lucrativo (a propósito de la subasta del dólar y del cumpleaños de Pini). En un lugar donde haya treinta (o más) personas, apuéstenle a alguien que entre esas personas hay al menos dos que están de cumpleaños el mismo día. Un incauto pensaría: "Conozco muy pocas personas que están de cumpleaños el mismo día que yo, ergo esto es poco probable, ergo la apuesta me favorece".

¿Conviene aceptar la apuesta? a estas alturas es obvio que no, pero... ¿Qué probabilidades tiene de ganar el incauto? ¿Cuántas personas tendría que haber en el lugar para que la apuesta sea justa?

Update 30/07: Después de mucho tiempo de publicado el problema, ha llegado la solución, por parte de Andrés. Con una impecable explicación concluye que la apuesta sería justa en una sala con 23 personas, y que con 50 personas las probabilidades de que gane el apostador son de un 97%...

Para zanjar definitivamente el tema, agrego este grafiquito que muestra la probabilidad de ganar la apuesta (por parte del apostador) en función del número de personas en la sala:

7 comentarios:

Santiago dijo...

¿Qué significa que la apuesta sea justa, que tengan igual chance de ganar ambos?

homero dijo...

O lo más parecida posible.

pini dijo...

he venido, he leido, me siento gratificada por la mención.
resolver me excede.
sólo he pensado que tal vez sea tu cumpleaños también. (o mejor dicho, haya sido junto al mio).
gracias, homero.

Mamelov dijo...

Este año, mi cumpleaños cae día miercoles. Yo supongo que si escojo en la calle a 30 personas al azar, es muy probable de que el cumpleaños de alguna de esas personas caiga tambien dia miercoles.

homero dijo...

No, Mamel, no es así!... Me refiero a días del año, no de la semana. Entre esas treinta personas que paras en la calle, además, lo que es probable es que al menos dos de ellas tengan el mismo cumpleaños, pero no necesariamente alguna va a tener tu mismo cumpleaños...

Mamelov dijo...

bu

andres navarro dijo...

La respuesta es simple. Suponiendo que los días de cumpleaños de las personas se distribuyen de manera uniforme durante el año para la población (es decir, suponiendo que no existieran eventos o situaciones que hicieran aumentar o disminuir la tasa de natalidad en ciertos períodos) se podría calcular la probabilidad de NO coincidencia así:

Supongamos que se hiciera escoger a las personas, una por una, un número entre 1 y 365 (días del año)al azar. A la primera no la contamos, pues tiene probabilidad de NO coincidir del 100%. Luego la segunda persona escogería teniendo una probabilidad 364/365 de NO coincidir con la primera persona. La tercera persona tendría la probabilidad 363/365 de NO coincidir con las dos primeras...y así susecivamente hasta N personas.

La probabilidad de NO coincidir será la multiplicación de NO coincidencia de cada persona que va escogiendo un número.

Con todo esto, y utilizando una herramienta como Excel se puede hacer un cálculo simple que estima que para que la apuesta sea justa (es decir, que la probabilidad del evento sea aproximadamente un 50% o 1/2) es de aproximadamente 23 personas (un número entre 22 y 23 pero más cercano a 23).

Lo increíble de este simple problema es que el sentido común nos juega una mala pasada. Por ende, si quisieramos hacer una apuesta con una probabilidad muy alta de éxito, nos bastaría con desafiar a alguien poco perito en el tema y con un número de personas N=50 para tener una no despreciable probabilidad de más de 97% de éxito. Increíble.